← ⚛ 物理学

∂²

自由度

An interactive exploration of degrees of freedom in classical mechanics — from the harmonic oscillator and pendulum through coupled systems to the chaotic double pendulum. Each section presents the equations of motion and an interactive simulation.

自由度（DoF）とは、物理系の配置を記述するために必要な独立した座標のことだ。3D空間を運動する粒子は3自由度を持つ。平面内で揺れることに制約された振り子は1自由度を持つ。自由度の数は位相空間の次元を決定し、究極的にはその系の振る舞いの複雑さを決定する。

この記事では、線形調和振動子（1 DoF、完全に解析可能）から非線形振り子（1 DoF、数値積分が必要）、連成振動子（2 DoF、基準振動とうなり）、そして二重振り子（2 DoF、決定論的カオス）へと概念を積み上げていく。

自由度とは何か？

形式的には、力学系の自由度の数は、その配置を完全に指定するために必要な独立した一般化座標 q₁, q₂, …, qₙ の数に等しい。拘束条件は自由度を減らす：3D空間のワイヤー上のビーズは1自由度（3ではない）を持つ。

統計力学では、自由度は異なるが関連した意味を持つ——ハミルトニアンの各二次項は熱平衡でのエネルギーに½k_BT寄与する（等分配定理）。3D調和振動子は6自由度（3動的 + 3位置）を持ち、平均エネルギーは3k_BTとなる。

ラグランジュ力学と一般化座標

ラグランジュ力学は、ニュートンのベクトル力方程式をスカラーエネルギー関数 L = T − V（運動エネルギーマイナスポテンシャルエネルギー）に置き換える。オイラー・ラグランジュ方程式：

d/dt (∂L/∂q̇ᵢ) − ∂L/∂qᵢ = 0

は一般化座標 qᵢ ごとに1つの方程式を与える。この定式化は座標自由——デカルト座標、極座標、または任意の曲線座標で等しく機能する。

〜 線形調和振動子

ばね定数kと質量mのばねに接続された質量。1つの自由度：変位x(t)。復元力は線形：F = −kx。これが振動物理学の基本的な構成要素である。

運動方程式（ニュートン力学）：
mẍ + kx = 0
一般解：
x(t) = A·cos(ω₀t + φ), ω₀ = √(k/m)
減衰あり（γ = b/2m）：
mẍ + bẋ + kx = 0 → x(t) = Ae−γt·cos(ωdt + φ)

k（剛性）、m（質量）、b（減衰）、振幅を調整する。減衰不足振動から過減衰指数減衰への遷移を観察する。

⊙ 単振り子

長さLと質量mの振り子が重力のもとで振動する。1つの自由度：角度θ(t)。振動子と異なり、運動方程式は非線形であり、厳密解には数値積分が必要である。小角（θ ≪ 1）の場合、調和振動子に近似する。

厳密な運動方程式：
θ̈ + (g/L)·sin(θ) = 0
小角近似：
θ̈ + ω₀²·θ ≈ 0, ω₀ = √(g/L) [for |θ| ≪ 1]
周期（厳密、楕円積分による）：
T = 2π√(L/g) · K(sin(θ₀/2)) [K = complete elliptic integral of first kind]

大きな初期角度は調和的な振る舞いからの逸脱を示す——周期が増大する。位相図（右）：分離曲線が天秤動と完全回転を分ける。

⇌ 連成振動子

ばねで連結された2つの質量——合計3つのばね（壁–m₁–結合–m₂–壁）。2つの自由度：x₁(t)、x₂(t)。基準振動モードが現れる：対称（同位相）と反対称（逆位相）。うなり現象と振動子間のエネルギー交換。

ニュートンの運動方程式：
m₁ẍ₁ = −k₁x₁ + k_c(x₂ − x₁)
m₂ẍ₂ = −k₂x₂ − k_c(x₂ − x₁)
ラグランジュ形式（T = 運動エネルギー、V = ポテンシャルエネルギー）：
L = T − V = ½(m₁ẋ₁² + m₂ẋ₂²) − ½(k₁x₁² + k₂x₂² + k_c(x₂−x₁)²)
基準振動数：
ω₋² = k/m, ω₊² = (k + 2k_c)/m [equal masses m, k₁=k₂=k]

k_c ≈ 0に設定して2つの独立した振動子を得る。k_cを増加させてエネルギー交換とうなり現象を観察する。対称な初期条件は対称基準モードのみを励起する。

∞ 二重振り子 — カオス的振る舞い

別の振り子の端に取り付けられた振り子。2つの自由度：θ₁(t)、θ₂(t)。系は決定論的でありながら予測不能——初期条件の任意に小さな差異が軌道の指数的発散をもたらす。古典的カオスの典型例。

ラグランジアン（m₁=m₂=m、L₁=L₂=L）：
L = (m/2)[2L²θ̇₁² + L²θ̇₂² + 2L²θ̇₁θ̇₂cos(θ₁−θ₂)] + mgL(2cosθ₁ + cosθ₂)
運動方程式（オイラー–ラグランジュより）：
(2m)L²θ̈₁ + mL²θ̈₂cos(θ₁−θ₂) + mL²θ̇₂²sin(θ₁−θ₂) + 2mgLsinθ₁ = 0
mL²θ̈₂ + mL²θ̈₁cos(θ₁−θ₂) − mL²θ̇₁²sin(θ₁−θ₂) + mgLsinθ₂ = 0
リャプノフ指数 λ > 0 ——初期条件への敏感な依存性。

「+ゴースト」をクリックしてほぼ同一の振り子を追加する（Δθ₁ = 0.001°）。軌道が指数的に発散するのを観察する——これがカオスの特徴である。軌跡は下のボブの経路を追う。