← ⚛ Fyzika

∂²

Stupeň volnosti

Interaktivní prozkoumávání stupňů volnosti v klasické mechanice — od harmonického oscilátoru a kyvadla přes vázané soustavy k chaotickému dvojitému kyvadlu. Každá část představuje rovnice pohybu a interaktivní simulaci.

Stupeň volnosti (DoF) je nezávislá souřadnice potřebná k popisu konfigurace fyzikální soustavy. Částice pohybující se v 3D prostoru má 3 stupně volnosti. Kyvadlo omezené na kmitání v rovině má 1 stupeň volnosti. Počet stupňů volnosti určuje dimenzi fázového prostoru — a v konečném důsledku komplexitu chování soustavy.

Tento článek buduje tento koncept od základů: od lineárního harmonického oscilátoru (1 DoF, zcela řešitelný) přes nelineární kyvadlo (1 DoF, vyžadující numerickou integraci) a vázané oscilátory (2 DoF, vlastní módy a rázy) až k dvojitému kyvadlu (2 DoF, deterministický chaos).

Co je stupeň volnosti?

Formálně se počet stupňů volnosti mechanické soustavy rovná počtu nezávislých generalizovaných souřadnic q₁, q₂, …, qₙ potřebných k úplnému popisu její konfigurace. Vazby snižují počet stupňů volnosti: korálek na drátě v 3D má 1 stupeň volnosti, ne 3.

Ve statistické mechanice nabývá pojem DoF jiný, ale příbuzný význam — každý kvadratický člen hamiltoniánu přispívá ½k_BT energie při tepelné rovnováze (ekvipartitní teorém). 3D harmonický oscilátor má 6 stupňů volnosti (3 kinetické + 3 potenciální), a tedy průměrnou energii 3k_BT.

Lagrangeova mechanika a generalizované souřadnice

Lagrangeova mechanika nahrazuje Newtonovy vektorové rovnice sil skalární energetickou funkcí L = T − V (kinetická minus potenciální energie). Euler-Lagrangeovy rovnice:

d/dt (∂L/∂q̇ᵢ) − ∂L/∂qᵢ = 0

dávají jednu rovnici pro každou generalizovanou souřadnici qᵢ. Tato formulace je nezávislá na souřadnicovém systému — funguje stejně dobře v kartézských, polárních nebo jakýchkoli křivočarých souřadnicích.

〜 Lineární harmonický oscilátor

Hmota připevněná k pružině s tuhostí k a hmotností m. Jeden stupeň volnosti: výchylka x(t). Obnovující síla je lineární: F = −kx. Toto je základní stavební prvek oscilační fyziky.

Rovnice pohybu (Newtonova):
mẍ + kx = 0
Obecné řešení:
x(t) = A·cos(ω₀t + φ), ω₀ = √(k/m)
S tlumením (γ = b/2m):
mẍ + bẋ + kx = 0 → x(t) = Ae−γt·cos(ωdt + φ)

Upravte k (tuhost), m (hmotnost), b (tlumení) a amplitudu. Sledujte přechod od nedotlumeného kmitání k přetlumenému exponenciálnímu útlumu.

⊙ Jednoduché kyvadlo

Kyvadlo délky L a hmotnosti m kmitá v gravitačním poli. Jeden stupeň volnosti: úhel θ(t). Na rozdíl od oscilátoru je rovnice pohybu nelineární — přesná řešení vyžadují numerickou integraci. Pro malé úhly (θ ≪ 1) se přibližuje harmonickému oscilátoru.

Přesná rovnice pohybu:
θ̈ + (g/L)·sin(θ) = 0
Aproximace malých úhlů:
θ̈ + ω₀²·θ ≈ 0, ω₀ = √(g/L) [for |θ| ≪ 1]
Perioda (přesná, přes eliptický integrál):
T = 2π√(L/g) · K(sin(θ₀/2)) [K = complete elliptic integral of first kind]

Velké počáteční úhly ukazují odchylku od harmonického chování — perioda se zvětšuje. Fázový portrét (vpravo): separatrix odděluje libraci od úplné rotace.

⇌ Vázané oscilátory

Dvě hmoty spojené pružinami — celkem tři pružiny (stěna–m₁–vazba–m₂–stěna). Dva stupně volnosti: x₁(t), x₂(t). Vznikají normální mody: symetrický (souhlasný) a antisymetrický (protifázový). Fenomén rázů a výměna energie mezi oscilátory.

Newtonovy rovnice pohybu:
m₁ẍ₁ = −k₁x₁ + k_c(x₂ − x₁)
m₂ẍ₂ = −k₂x₂ − k_c(x₂ − x₁)
Lagrangeova formulace (T = kinetická, V = potenciální):
L = T − V = ½(m₁ẋ₁² + m₂ẋ₂²) − ½(k₁x₁² + k₂x₂² + k_c(x₂−x₁)²)
Frekvence normálních módů:
ω₋² = k/m, ω₊² = (k + 2k_c)/m [equal masses m, k₁=k₂=k]

Nastavte k_c ≈ 0 pro dva nezávislé oscilátory. Zvyšte k_c pro sledování výměny energie a fenoménu rázů. Symetrické počáteční podmínky excitují pouze symetrický normální mod.

∞ Dvojité kyvadlo — Chaotické chování

Kyvadlo připevněné na konec jiného kyvadla. Dva stupně volnosti: θ₁(t), θ₂(t). Systém je deterministický, avšak nepředvídatelný — libovolně malé rozdíly v počátečních podmínkách vedou k exponenciálně divergujícím trajektoriím. Kanonický příklad klasického chaosu.

Lagrangian (m₁=m₂=m, L₁=L₂=L):
L = (m/2)[2L²θ̇₁² + L²θ̇₂² + 2L²θ̇₁θ̇₂cos(θ₁−θ₂)] + mgL(2cosθ₁ + cosθ₂)
Rovnice pohybu (z Euler–Lagrange):
(2m)L²θ̈₁ + mL²θ̈₂cos(θ₁−θ₂) + mL²θ̇₂²sin(θ₁−θ₂) + 2mgLsinθ₁ = 0
mL²θ̈₂ + mL²θ̈₁cos(θ₁−θ₂) − mL²θ̇₁²sin(θ₁−θ₂) + mgLsinθ₂ = 0
Ljapunovův exponent λ > 0 — citlivá závislost na počátečních podmínkách.

Klikněte na „+Přízrak" pro přidání téměř identického kyvadla (Δθ₁ = 0,001°). Sledujte, jak se trajektorie exponenciálně rozbíhají — to je podpis chaosu. Stopa sleduje dráhu spodního závaží.