- září 2015 v 9:50:45 světového času se zrodila gravitační astronomie. Detektory gravitačních vln LIGO zachytily signál (evropský Virgo tehdy ještě nebyl v plném provozu a samotné detektory LIGO byly po upgradu teprve v závěru testovacího provozu — ale to je jiný příběh), který se dnes v oficiálním katalogu gravitačních „eventů“ vede jako první: GW150914. Jeho zdrojem byla poslední fáze splynutí dvou černých děr o hmotnostech v řádu vyšších desítek Sluncí. I to bylo vlastně překvapující. Byla to první přímá detekce gravitačních vln. Data z obou detektorů jsou veřejná — kdokoli si je může stáhnout z Gravitational Wave Open Science Center a pokusit se signál najít sám.
To jsme udělali. Napoprvé se nám to nepovedlo. Napodruhé ano. Tenhle text je o tom, co bylo mezi tím — protože právě tam se ukazuje, kolik práce v detekci dělá Fourierova analýza a kolik chyb se dá udělat, aniž by člověk sáhl na fyziku.
Co detektor měří
Detektor LIGO je Michelsonův interferometr se čtyřkilometrovými rameny. Gravitační vlna rameno nepatrně natáhne a druhé zkrátí; výsledkem je jedna časová řada na detektor, takzvaný strain h(t) — relativní změna délky ramene. U GW150914 dosáhla vrcholu kolem 10⁻²¹: rameno o délce čtyř kilometrů se změnilo řádově o tisícinu průměru protonu.
Šum detektoru je přitom v celém pásmu, kde signál leží, srovnatelný nebo větší. Kolem 100 Hz má hustotu asi 10⁻²³ na odmocninu hertzu, pod 30 Hz prudce roste (seismika) a nad pár stovek hertzů znovu stoupá (kvantový šum světla). K tomu úzké spektrální čáry: síťové napětí 60 Hz a jeho násobky, vlastní kmity závěsů zrcadel kolem 500 Hz, kalibrační čáry. Signál leží pod šumem — v syrových datech ho okem nevidíte.
První pokus: proč nic nevyšlo
Vzali jsme 32sekundový soubor kolem události, udělali jednu Fourierovu transformaci, vydělili ji odhadem šumu ze stejných 32 sekund a hledali v časově-frekvenční mapě rostoucí tón. Našli jsme nejhlasitější místo na 32–40 Hz, mimo okamžik splynutí, a žádné „cvrlikání“.
Chyba nebyla v datech. Byla v metodě: odhad spektra šumu z jedné transformace má obrovský rozptyl (každá frekvence je odhadnutá ze dvou čísel), a 32 sekund dat na pořádný odhad nestačí. Průvodce, který kolaborace LIGO a Virgo k veřejným datům vydala, věnuje právě odhadu šumu velkou část výkladu.
Co dělá kolaborace — a co jsme udělali podruhé
Postup, který kolaborace popisuje pro zobrazení signálu, má čtyři kroky:
- Spektrum šumu jako medián. Ze 1024 sekund dat kolem události se spočítají spektra ve čtyřsekundových oknech posunutých o dvě sekundy (Welchova metoda) a z nich se vezme medián, ne průměr. Medián nesnese, aby spektrum zkreslila jedna hlasitá porucha — ani signál sám.
- Okno. Data se před transformací vynásobí Tukeyovým oknem. Bez okna „prosakuje“ obrovský šum z nízkých frekvencí do celého spektra.
- Bělení. Spektrum dat se vydělí odmocninou spektra šumu. Šum se tím zploští — všechny frekvence pak mají stejnou váhu a slabý signál v klidném pásmu přestane mizet pod hlasitým šumem jinde.
- Pásmová propust 35–350 Hz — a to jen pro zobrazení. Vlastní vyhledávání ji nepoužívá.
Tohle jsme udělali se 4096sekundovými soubory z obou detektorů. Výsledek:
| co jsme měřili | náš výsledek | publikovaná hodnota |
|---|---|---|
| šum při 100 Hz | 9,2 × 10⁻²⁴ (H1), 9,9 × 10⁻²⁴ (L1) /√Hz | ≈ 10⁻²³ /√Hz |
| kvalita dat kolem události | všechny příznaky kvality nastavené v obou detektorech | totéž |
| vybělený šum mimo událost | směrodatná odchylka 1,005 a 1,008, špičatost +0,05 a +0,04 | Gaussovské rozdělení: 1 a 0 |
| zpoždění mezi detektory | Livingston předbíhá Hanford o 7,3 ms, signál s opačným znaménkem | 6,9 (+0,5/−0,4) ms, opačné znaménko |
| okamžik vrcholu | 0,02 s po katalogovém čase | splynutí ≈ 0,02 s po katalogovém čase |
| frekvence v posledních 0,1 s (Hanford) | 39 → 52 → 84 → 175 Hz | vzestup z ~35 na ~250 Hz |
Zpoždění 7,3 ms leží v publikovaném intervalu. Obrácené znaménko odpovídá tomu, že ramena obou detektorů jsou vůči sobě natočená. A na dolním obrázku je to, kvůli čemu se tomu signálu říká chirp: frekvence za necelou desetinu sekundy vyletí z desítek na stovky hertzů, jak se černé díry naposledy obíhají a splynou.
Dvě chyby našich vlastních nástrojů
Do výsledku jsme se nedostali rovnou. Cestou jsme dvakrát změřili něco, co neplatilo — a obě chyby byly v našich kontrolách, ne v datech.
- Test Gaussovosti napoprvé ohlásil masivní selhání. Porovnával ale šum na jemnějším frekvenčním dělení se spektrem šumu odhadnutým na hrubším. V místech, kde je úzká spektrální čára, takové dělení nesedí — a test pak měřil vlastní nesoulad. Na stejném rozlišení jako spektrum šumu vychází šum téměř přesně Gaussovský.
- Sledování frekvence napoprvé dávalo nesmysly, protože časově-frekvenční mapa měla rozlišení 16 Hz — na signál, který za desetinu sekundy přejde stovky hertzů, příliš hrubé. Pomohla vlnková (waveletová) transformace se stálým poměrem šířky pásma k frekvenci.
Třetí podobnou zkušenost — kontrolu provedenou na jednom úseku dat místo na celém souboru — popisujeme zvlášť na mim2000.cz.
Kde v tom je Fourier
Ne jako jeden nástroj z mnoha, ale jako osa. Všechny kroky, které kolaborace dělá od bělení přes vyhledávání až po odhad parametrů, stojí na jednom objektu: na skalárním součinu signálů, ve kterém je každá frekvence vážená převrácenou hodnotou spektra šumu. Ten je jednoduchý jen ve frekvenční oblasti, protože stacionární Gaussovský šum má Fourierovy koeficienty navzájem nezávislé. Okno, medián, bělení — to všechno je péče o to, aby tahle podmínka platila dost dobře na skutečných datech.
Co z toho vyvozujeme z praktického hlediska? Tři závěry, každý z nich střídmý a dobře doložený.
- Veřejná data stačí na zopakování obrazu signálu — i bez specializovaného softwaru. Stačily nám numpy, scipy a h5py, 4096 sekund dat a postup, který kolaborace sama zveřejnila. Detekci jsme tím neověřili (to vyžaduje filtr se šablonou a odhad pozadí), zopakovali jsme její obraz a čtyři měřitelné vlastnosti.
- Odhad šumu je polovina detekce. Rozdíl mezi „nic“ a „jasný chirp“ nebyl v signálu, ale v tom, z kolika dat a jak robustně jsme odhadli šum.
- Kontrola musí umět selhat ze správného důvodu. Obě naše chybné kontroly by bez druhého pohledu vypadaly jako vlastnost dat. Kontrolu je potřeba nejdřív vyzkoušet na případu, kde odpověď známe.
Co dál
Další krok je filtr se šablonou (matched filter): proložit data teoretickým průběhem signálu z obecné relativity a změřit poměr signálu k šumu — publikovaná hodnota je kolem 24 pro oba detektory dohromady. Šablony budou dvě, oficiální a naše zjednodušená, a nejdřív projdou testovacími případy, u nichž odpověď známe z teorie. Teprve pak půjdou na data.
Odkazy
- Abbott, B. P. et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) (2016). Observation of gravitational waves from a binary black hole merger. Physical Review Letters, 116, 061102. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.061102
- Abbott, B. P. et al. (2020). A guide to LIGO–Virgo detector noise and extraction of transient gravitational-wave signals. Classical and Quantum Gravity, 37, 055002. https://doi.org/10.1088/1361-6382/ab685e · arXiv:1908.11170
- Allen, B., Anderson, W. G., Brady, P. R., Brown, D. A., Creighton, J. D. E. (2012). FINDCHIRP: an algorithm for detection of gravitational waves from inspiraling compact binaries. Physical Review D, 85, 122006. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.85.122006
- Bičák, J., Heyrovský, D., Langer, J., Ledvinka, T., Podolský, J. (2016). Přímá detekce gravitačních vln. Seminář na Matematicko-fyzikální fakultě UK, 25. 2. 2016, videozáznam. https://youtu.be/FhggaMyEIlI — česky; objev v širších souvislostech, dva týdny po jeho oznámení. Uvádíme jako souvislost a doporučení k poslechu; konkrétní tvrzení z něj v textu necitujeme, dokud nebude pořízen přepis s časovými značkami.
- Welch, P. D. (1967). The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra. IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, 15(2), 70–73. https://doi.org/10.1109/TAU.1967.1161901
- Gravitational Wave Open Science Center: GW150914, GWTC-1, verze 3. https://gwosc.org/eventapi/html/GWTC-1-confident/GW150914/v3/ — data pod licencí CC BY 4.0. This research has made use of data obtained from the Gravitational Wave Open Science Center (gwosc.org), a service of the LIGO Scientific Collaboration, the Virgo Collaboration and KAGRA.
Naše referenční dokumentace (pracovní verze v .md): kód fourier/examples/gw150914/stage01_whiten.py, výsledky RESULT-2026-10-11.md, memo o jednom úseku dat, výzkumná zpráva GW detection methods LIGO Virgo (zdroje, glosář, plán reprodukce po krocích). Dnes v soukromém pracovním repozitáři; zveřejnění chystáme.
Připravujeme. Řada o detekci gravitačních vln pokračuje: filtr se šablonou a co znamená, že je jedna šablona „blíž“ než druhá; kolik let pozadí stojí jedna detekce; spor o šum kolem GW150914; a co nesou čísla „36 a 29 Sluncí“. Kód a data zveřejníme spolu s prvním odborným výstupem.
Metoda a meze. Zopakovali jsme zobrazovací řetězec kolaborace, ne vyhledávání: žádný filtr se šablonou, žádný odhad významnosti. Hodnoty v tabulce jsou naše výpočty nad daty GWOSC GW150914 v3 (4 kHz, 4096 s, kontrolní součty zapsané). Generátor textu a kódu: jazykový model Claude (Cowork), 2026-10-11 až 12; orákulum: publikované hodnoty kolaborace; doména: data GWOSC v3.
