Attrattore di Lorenz
Tre EDO accoppiate, tre parametri e un attrattore strano che non si ripete mai. Una simulazione interattiva del caos deterministico — l'effetto farfalla reso visibile. [REVIEW NEEDED]
Nel 1963, il meteorologo del MIT Edward Lorenz semplificò la convezione atmosferica a tre equazioni differenziali accoppiate. Scoprì che le loro soluzioni — nonostante la loro apparente semplicità — non si stabilizzavano mai in orbite periodiche. Tracciano invece un attrattore strano: una struttura frattale di infinita complessità topologica.
La simulazione interattiva sopra permette di esplorare lo spazio dei parametri — σ (numero di Prandtl), ρ (numero di Rayleigh), β (rapporto d’aspetto) — e di osservare direttamente la dipendenza sensibile tramite la traiettoria Fantasma.
Contesto storico — convezione e imprevedibilità
Lorenz scoprì il comportamento caotico per caso: riavviando un calcolo da un tabulato (arrotondato a tre cifre decimali invece di sei), ottenne una traiettoria completamente diversa. Una differenza di 0,000127 si era espansa in meno di due giorni simulati fino a coprire l’intero attrattore.
Punti fissi e biforcazione
Il sistema di Lorenz ha tre punti fissi: l’origine e due punti simmetrici C±. Al valore classico ρ = 28, tutti i punti fissi sono instabili — le traiettorie vagano caoticamente tra i due lobi.
Geometria dell’attrattore strano
L’attrattore di Lorenz è un attrattore strano con dimensione frattale d_KY ≈ 2,062. Il più grande esponente di Lyapunov λ₁ ≈ 0,906 s⁻¹ quantifica il tasso medio di divergenza esponenziale. Il tempo di Lyapunov τ_L ≈ 1,1 s è il tempo caratteristico dopo il quale una perturbazione di dimensione ε è cresciuta all’ordine 1.
∞ Attrattore di Lorenz — Simulazione interattiva
The system evolves under dx/dt = σ(y−x), dy/dt = x(ρ−z)−y, dz/dt = xy−βz. Classic parameters σ = 10, ρ = 28, β = 8/3 produce the strange attractor. The Ghost (red) starts with Δx = 0.01 — initially indistinguishable, diverging exponentially.
Drag on the canvas to orbit. The colour encodes velocity magnitude (blue = slow, red = fast). Ghost trajectory (red line) starts Δx = 0.01 from the primary — watch exponential divergence.
λ Attrattore strano — Topologia e caos
The attractor is a fractal surface of dimension ≈ 2.06 — not a 2D surface and not a 3D volume, but something between. Nearby trajectories separate at rate e^{λ₁t} while the attractor as a whole is dissipative (sum of Lyapunov exponents < 0): volume in phase space contracts at rate σ + 1 + β ≈ 13.7.